Методические материалы по информатике
Системы счисления

Разные народы в своем развитии использовали различные системы счисления. Отголоски древних способов счета встречаются и в современном мире. Так, из древнего Вавилона сохранилось деление часа на 60 минут, минуты – на 60 секунд, а угла на 360°; из Древнего Рима – римская запись чисел (I, II, III, IV...); от англосаксов – счет дюжинами (в году – 12 месяцев, в футе – 12 дюймов, сутки делятся на 2 периода по 12 часов).

В результате, самой удобной оказалась десятеричная (десятичная) система счисления, которая пришла из Индии. В ней десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), но информацию несет не только сама цифра, но также и позиция, в которой она стоит.

Основание системы счисления – количество различных символов или знаков, используемых для записи чисел (основание заложено в название системы счисления!).

Алфавит системы счисления – перечень символов, используемых для записи чисел.
Так, для десятеричной системы это будут приведенные выше 10 цифр, а для двоичной – только две (0 и 1).
Алфавит составляется из арабских цифр, начиная с нуля. Если знаков не хватает (шестнадцате­ричная система), то берутся латинские буквы (A–F...).

Наиболее важными являются двоичная, восьмеричная, десятеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Это связано с их использованием в математике и для компьютерного представления информации.

Двоичная система счисления в вычислительной технике используется в связи с тем, что электронные элементы – триггеры (переключатели), из которых состоят микросхемы, могут находиться только в двух рабочих состояниях (включено или выключено – ноль или единица).

Степени чисел в десятеричной системе

Для освоения этой темы необходимо четкое понимание использования степеней чисел, которое в курсе математики к моменту уроков по системам счисления изучается недостаточно полно (только квадрат и куб).
Несмотря на то, что степень числа может принимать любое значение, нас будет интересовать только натуральные и нулевая степени на примере десятеричной системы.

Введем некоторые аксиомы.
1. Любое число в нулевой степени равно единице a⁰ = 1.
2. Любое число в первой степени равно самому себе a¹ = a.
3. aⁿ = .

Классификация систем счисления

Все современные системы можно разделить на два класса: непозиционные и позиционные.
В непозиционных системах (например, римской) значение знаков зависит от порядка их записи. Так, если I стоит перед V (IV), то это означает 5–1 = 4, а если после (VI), то это означает 5+1 = 6.

В позиционной системе, основным примером которой является повсеместно используемая десятеричная, значение цифры четко зависит от ее положения (разряда). Например, число 333 записывается тремя одинаковыми цифрами, но значение их различается по четким правилам: три сотни, три десятка и три единицы (333=300+30+3).
Важно подчеркнуть, что возможна другая форма записи такого разложения:

333 = 3•10² + 3•10¹ + 3•10⁰.

Принято считать, что основание 10 возникло в соответствии с количеством пальцев у человека.

Перевод чисел из десятеричной системы

Остаток от деления

Последовательно делим число на основание до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Остатки записываем. После завершения вычислений записываем значения остатков в обратном порядке. Полученное число и будет ответом.

Разложим два числа: 21 и 64.

Разложение

Запишем значения степеней числа 2:

Степень	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Результат	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

и разложим те же числа.

64₁₀ = 1•64 + 0•32 +0•16 +0•8 +0•4 +0•2 + 0•1 = 1000000₂

21₁₀ = 1•16 + 0•8 + 1•4 + 0•2 + 1•1 = 10101₂

Таким образом становиться ясно, что для этих вычислений нужно

• Знать таблицу степеней данного числа.

• Последовательно записать, сколько раз каждая степень вошла в сумму.

• Помнить, что если из круглого двоичного числа вычесть 1, то получится число из одних единиц, но на разряд меньше.

В связи с довольно большой трудоемкостью, данный метод едва ли можно назвать простым. Но в некоторых случаях, когда число очень мало отличается от степени основания, перевод может оказаться значительно более быстрым, чем другие.

Например, число 1111011₂ можно представить в виде 1111111₂–100₂. Семь единиц дают 2⁷–1 (127), а двоичная сотня – 2² (4). Итого 127–4 = 123. (Во много раз быстрее!)

Степени некоторых чисел

Степени числа 2

Степень	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Результат	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768	65536	131072	262 144	524 288	1 048 576

Степень (n)	Результат	Двоичное	Нолей (n)	Знаков (n+1)	Значения
20	1	1	0	1	0–1
21	2	10	1	2	0–3
22	4	100	2	3	0–7
23	8	1000	3	4	0–15
24	16	10000	4	5	0–31
25	32	100000	5	6	0–63
26	64	1000000	6	7	0–127
27	128	10000000	7	8	0–255
28	256	100000000	8	9	0–511

Выводы (n – число знаков):
1. 2ⁿ. Зная соответствующую таблицу степеней, задания можно выполнять во много раз быстрее и с меньшей вероятностью ошибиться.
2. Двоичное число, состоящее из n единиц = 2ⁿ – 1.
3. Чтобы найти число битов, требующихся для для описания некоторого количества значений, нужно взять ближайшую степень двойки, которая не меньше числа значений. Степень и будет искомым ответом, а также числом разрядов в двоичном числе.
4. Каждая единица двоичного числа вносит в него вклад, равный 2 в степени своей позиции от правого края минус 1. Также это можно оценивать как 2 в степени количества остальных цифр (нулей) справа. Так, 1000₂ = 2³ = 8 (три нуля).

Степени числа 3

Степень	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Результат	1	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19 683	59 049	177 147	531 441	1 594 323

Степени числа 8

Степень	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Результат	1	8	64	512	4096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824

Степени числа 16

Степень	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Результат	1	16	256	4096	65 536	1 048 576	16 777 216	268 435 456	4 294 967 296	68 719 476 736	1 099 511 627 776

Значения некоторых чисел в различных системах счисления

(Таблица дана не для решения заданий, а для упрощения понимания закономерностей прироста и сравнения чисел разных систем счисления.)

Основание
10	2	3	4	8	16
0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1
2	10	2	2	2	2
3	11	10	3	3	3
4	100	11	10	4	4
5	101	12	11	5	5
6	110	20	12	6	6
7	111	21	13	7	7
8	1000	22	20	10	8
9	1001	100	21	11	9
10	1010	101	22	12	A
11	1011	102	23	13	B
12	1100	110	30	14	C
13	1101	111	31	15	D
14	1110	112	32	16	E
15	1111	120	33	17	F
16	10000	121	100	20	10
17	10001	122	101	21	11
18	10010	200	102	22	12
19	10011	201	103	23	13
20	10100	202	110	24	14